オンライン黒田塾のライブ配信第34回

[音楽] はい皆さんこんにちはオンライン黒田塾の代表の黒田ですです今日も少し早く始めたいと思いますえなるべく全部終わりにしたいもんですからえ早めに始めます今日のテーマ [音楽] です昨日に引き続きましてちょっと上げますね昨日に引き続きまして2023年度え土浦日本大学代の数学の問題です今日で2 回目ですできるだけ頑張って今日中にわりにしたいと思いますはいそれでは画面を切り替え [音楽] ます [音楽] はい画面が切り替わりましたそれでですね昨日あの1番の括1なんですがえ問題をですね私ノートの方に書き写し間違えまして符号ですね間違えましたのでちょっと転成しますというのはここのマ1.5のとこのマイナスを落としてしまいましたはいというわけでそれだけちょっとやり直ししますのでよろしいですかえというわけでこの1.5にマイナスがついてましたので3乗しますと符合はこれねえマあ1.5分数にして-32の3でこれはですね -87となってこのマイナスは消えないんですねでこれとこれをこの掛け算のとこですねえ計算です約分すると-1/6になりますそうしますと通分して4/6-1/6で結果は3/6となんですねこれ青で書いてあるとこですね正しいのはで約分をして 1/2というわけで訂正させてください大門1の括1の答えは1/2でしたまこのようにですね慌てると符号のねミスっていうのは非常に起りがちですからこれはあの私が間違ったのはねあの不いっていうか本当にダメなことなんですけど皆さんもですね本番の時にこれ絶対にやらないようにあるいはもし時間が余ったらねこういうミスしてないかどうかチェックをした方がいいと思いますこういう簡単な問題で手を落としたくないのでえ不合のですねチェックだけは皆さんやった方がいいんじゃないでしょうかねというわけでえ私も符号を問題を移す時にえ書き間違えましたそれで答えが違ってしまったということです申し訳ございませんでした訂正いたしますということで1番の問題はそれで終わり [音楽]

ですで昨日2番目の問題の3番目ですね3番目のとこがちょっとっちゃいうか一応あの説明だけはしましたけどなぜていうことがね説明が足りませんのでもう 1度かこ3からやり [音楽] ます大門2の括3番目は図のように4つの点ABBCDがOの周上にありますでab =acの2等辺三角形ですか三角形ABC はね15ですADが12です角bac が角cadと同じです角bacと角cad が同じということはこbcとこcdの長さが同じってことになり [音楽] ますということで問題をもう1度見てください [音楽] えここの角とこの角同じっていうのが与えられてますからこのbcとこのCDは同じってことですねということはこことここは同じってのは過程で与えられてますがええこちらで三角形のACDacdという三角形と三角形のAbeABEに着目しますとこのADの作る演習角でこの2のとこですねこの角同じですBとCはねですからこここことこここことここですから2組の角でえ掃除ということになりますそしてですねえここですねこれに当たるとこはこの2重のとこですからこれに当たるとこ12でこちらでこれに当たるとこがAEですねこのAEを求めたいんですがイコールこちらでACの15に当たるとこACの15に当たるとこがAB なんですこれも15なんですよねということですから対応する変動士が同じってことはこれ合同になるってことですねま一応比例式で解きますとえ15A=12下15で両辺を15で割りますとAは12となりますというわけでこのAEは12ですそうしますとACが 15なのでこのEというのが3になりますねよろしいですかはい次三角形のACDと三角形のACD と三角形dcedceですかこのちっちゃい三角形が掃除ですえその理由はこのこの子が作る演習角この子が作る演習角これが同じあそうですねこの子が作る演習角とこの子が作る演習角でこれこの長さ同じでが同じでこの2重線のとこは両方の三角形にとって共通な角なので2組の角で掃除になりますここは共通こことここが

同じってことで2組の角ですねそうしますと CDこの大きい方の三角形のCDCDに対応するのはこちらではCEですでCEというのは3ですねですからCD対3=となってえこちら大きい方の15ですからACですねACに当たるのがDCですDCですけどCDと書きましたでこれ対応する円ですそうしますとCDと CDをかけますとCD2=これ45になりますとCDはえ√45ですがえ√45は9 下5で3√5ということでCDの長さは3 √5と出ますま落ち着いて掃除な三角形を見つけてですね2回掃除をやるってことですただ上の方の三角形は合道でした以上大門2が終わります次は大門さへいき [音楽] ますはいの問題を読み [音楽] ます図のように東西に一直線に伸びる道路がありAC間の距離がXkmBC間の距離はykmであるただしXの方がYよりは大きい佐藤君はH地点からC地点まで自転車で雪C地点からビーチ点までは歩いていく田村君はビーチ点から地点まで自転車で行きC地点からA地点までは歩いていく 2人が同時に出発したところ出発から24 分後にすれ違いました歩く速さは時速 5km自転車の早さは時速20kmであるこの時次の資格を埋めなさいという問題ですかこ1番2人がすれ違ったのはAから東に何kの地点であるかとえということでえXの方がYより距離が長いわけでえちょっと問題をといたのを示します [音楽] と ACの方がこのBCよりは長いわけですねこのBCBCXのが長いでえトクはあの長い距離ACっていうこの長い距離Xkmは自転車ですからでこちらから来る田村君はえ短い距離を自転車ですからうんどこで合うかってことになりますがえおそらく [音楽] えもう田村君は自転車が終わって歩いてる途中で A君と出会うであろうと考えられます自転車に乗ってる時間はA君の方が長くなるのでB君の方は自転車に乗ってる時間は短くてこっから歩きですからそうし

ますとこの歩いてる途中でA君と出すことなんじゃないかと考えられますそう考えてくださいそうしますと [音楽] 8 [音楽] は24分後にすれ違ったって書いてありましたねさてその24分っていうのは時間に直すと 2/0時間でえ6で約分して4/0さらに約分して 2/5時間なんですねですから2/5 時間ははあの佐藤君は自転車に乗ってると考えられますということでえ見ですがえ自転車に乗ってるで出会う時時出会う時までの距離ですねそれは速さの20か時間の2/5で8kgということでつまりAから88kmの地点でB君と出会うってことになるんじゃないでしょうかでこれが答えです1番のね次か2です [音楽] かこ2の問題は田村君の移動に着目するとえなんとかx+y=なんとかとなるんだよと田村君の移動に着目して式を作れということですはいえもう少し下げた下げていいですかねここまでが必要なんではいた君はですねえこの ykgっていうのを20km毎時で移動しますでその時間はYですねそれから [音楽] うんまここの出会うとこのねここから 88kmで出会いますけどじゃこっからここまではもうあの田は移動してるはずなのでこのykgの他にあとどれだけいってるかってことを考えますとここここ全体はX+Yですそこからこの8を引いた残り X+Yから8引いた残りがこれですそするとここのここのこ微妙なここですねここの距離は歩ってるわけですそのてる時間距離ですね歩っているごめんなさい時間ですねを表す式はえ速さが5ですでえX+Y8 からYを引いた距離を歩ってるわけですいいですかこの距離がx+y-8ですよそこからこのYを引いた残りのこの距離ですねを歩ってますそれがこの分子の式なんですね分子の部分ですそれが合わせて先の2/5 時間ですねこれ田村君で作った式ですはいそうしましてその次はそうですね何をやったか次は全体に2重をかけましたこれに2 をかけてYですねこちら2をかけますとえ約分で4が残りますから4x-8となり

ますこちらは2/5に2かけますと8ですね4が残ってさてこの分子の部分ですけど X+Y-8-yですがYは消えてしまって X-8だけが括弧の中に残ってますよ大丈夫ですかはいそれで括弧外しますY+ 4x-32=8ですよねそうしますと4X +Y=30-32こちら持ってきて40 これが先ほどの2の答えになります先ほどの2の要求しているなんとかX+Yがなんとかっていう式の答えが4X+Y=40ということになりますはい次かこ3 です過3番目は佐藤君は田村君がH店に到着するより9分早くB地点に到着したこの時ABの距離は何Kかってことですね佐藤君の方が9分早く田村君がH点につくよりもえ9分早くついちゃったってことですねということで式を作り [音楽] ますはいえっと前のここの格のとこはですねえ田村君ですこちらの後ろの方が佐藤君ですその差が9分ですこちらの方が田村君の方がたくさん時間かかっておりこちら佐藤君の方が時間が少ないんですですから多くかかってる時間から少なくかかってる時間を引いたのが9分ですただしみなあの時間で出てくるので9分は60 時間とします9/0時間ま約分してここに書いてあるように3/0ですけどねさて田村君はこのBからykmの地点を20という自転車で移動しますからYという時間がかかりさらにプラス残りのXは歩きですから55かかりますでこれが田村君のかかる時間ですB地点からA地点までに行くかかる時間ですでこちらは佐藤君のかかる時間で 2これ自転車ですね乗ってる時間+歩きの時間が5/5でこれ足したものが佐区のかかる時間その差が960を解きますえっとY+55角を外しましたここも角外して–3/5= [音楽] 3/いいですかで全部に20をかけますと Y+4x-x-4y=3ですそうしますと 3x-3Y=3ですx-y=1ね全部両を 3で割りましたそれとですね先ほどこれここで作りました4X+Y=40っていうねxyの関係式との連立方程式を解きます x-y=1と4X+Y=40ですから上と下を足せばYが消えてしまいますねしますと5X=41とXは451ということになりますとXが451ですからYを求めないと

ダメなのでこの式に入れましたx-y=1 に代入しますと451-YY1ですから- Yは55–51-yは=-56でYは 356ですそうすとABの距離を求める問題なのでxとyを出すだけじゃダメです XとYを足します451と356を足しますと 7577ですこれえ割り算しますと15.4kmとなりますよろしいでしょうか問題ちょっともう 1回見てみますよAB間の距離を求める問題ですからここのXとYを求める問題ではありませんもちろんXとYを出さないと AB間の距離は出ないわけですがね問題を間違えないでくださいま多分このオカー機に入れるっていうことなのでえ多分大丈夫かなとうぴったり入らないと思いますねていうかXだけでもおかしいしYだけでもおかしいXとYを足したのが答えなのでそこを気をつけましょう以上大門さんでした次大門4へ行きます大門4は関数の問題ですね問題を読みます図において四角形のAB CDは辺のABがy軸に並行でABABですからこれですね縦ABはy 軸に平行でAB対ADが3対2abが3でAD が2ですかね2ってことですねの方形である丸1は関数y=ax2のグラフで2点ACを通る Aの座標は21であるまた2点ACを通る直線を丸2とすると次の四角を埋めよ括弧1番はa=何かということでこれはもう超簡単ですねAの点をy=ax2に代入してAを求めればいいだけですねはいというわけではいえ4番の括弧1やってありますy= ax2にA21を代入しますそうしますと 1=4aですよね4a=1と入れ替えましてAは4ですこれが答えです次2番行きます2番の問題 [音楽] は2の方程式はY=マなんとかX +5であり天使の座標はであると丸2の方程式1時間数の方程式を出せばいいのですがえAの点の21だけでは出ませんもう1個点が欲しいのでCの座標を出す方向でいきましょうその時にですね先ほどのAB対ADが3対2っていうのから出しますはいではやったのを見て [音楽] くださいちょっと全部が入らないですかね入らないですねで上の方から説明していき

ますまAB対ADが3対2っていうのはもうこれ問題で与えられたもんですねそれでそうですねAの座標は21ですとBの座標は2 はy座標分かりませんでCの座標がこれ分からない座標なのでえまとりあえずx座標CのX座標Pと置きましたそうしますとy=1/4×2上にあるわけですからねこの曲線上にあるこの2次関数上にあるわけですからここのXにPを入れてy座標は1/4P2となりますますとBという点の座標は同じですから1/4 P2となりますそしてまついでですがDの座標はどうかっていうとX座標はCと同じでPですねでy座標はAのY座標の1と同じなのでP1ですはいそうしますとAB の長さ ABABの長さというのは1/4P2 からを引いた残りですよねはい1/4P2 -1がABですよADはADはここですが ADというのはここの長さが2でここの長さが-PですこれPっていうのはねあのC の点の座標のX座標なので不なですいいですかそこ気をつけてくださいここのP このPっていうのは不ですねなのでここの長さにしたい時にここは-Pとやらなきゃいけないとことに気をつけてくださいっということなんでここの長さが2でここ -Pが長さになりますから2-Pとここなってますよね=3対2ですあとは解きますえそうですね2角外側かけてます外側の21/4P2-1=内側の32-Pですねそしてえ括外しました1/2P2-2= 6-3Pですねでまたあ分母払ってます1/2P2+3 p-2-6=0全部左側に集めましたここで全部に2をかけましたそうしますとP2 +6p-4-12=0そとP2+6p- 16=0となってえ因数分解ができる2程式ですP-2とp+8=0と因数分解できてPは2と-8ですがPは先ほど申し上げましたようにこのPというのは不ですですからこちらです-8っていうのが天使の座標ですはい天使の座標がここで-816 とこれ決まりましたそうしますとy=ax +bというのを使ってこのACの直線の式を出すわけですねACの直線の式を出せというのがか丸2の方程式ってのは直線AC の式を求めろていう問題ですからですからこの直線の式を出すためにははいy=ax +b にaの座標21とCの座標-816を代入しますはい代入した式は1=2a+b16

=-a+b上から下引いて-1=10 Aで右と左入れ替えました10A=-15 両辺10であってAは -1=約分して -32Aは3/2それを上に入れました1 =Aのとこに-32を入れましたら2をかけますから-3が残って+BBは右に置いといて-3持っていくとbは4と出ますからよって丸2の方程式はy=-2x +4となってこれが答えですよろしいですか次かこの3番です括弧の3番目はy座標が性の数である点pをY軸上に取る四角形のabcdと三角形のACPの面積が等しい時テピの座標は何かという問題でえまあのそんな難しくないですねこれ大門4はね括弧1は超簡単で括2括3それほど難しくない方針は立つともんですよねあとは時間と計算力の問題でしょねはいということで問題はですねこの四角形のABCDの面積と同じ三角形をPOこの辺り取ってでこういう三角形えACPを作れとACPというのを作ってこの三角形の面積とこの長方形の面積を同じにしろっという問題ですなので四角形のABBCDの面積を求めます横がここが 2でここ-8ですからこの横が10ですね縦が16から1引いて15ですなので10 下15で150です四角形三角形のACP Pっていう点はPT10をね0Tと置きましたえここの Y切片をtと置きましたそうしますと三角形の ACP三角形ACPと三角形のAEP AEPのちょっとひ長いこの三角形とこのこの三角形をえ足したものがさっきの 150になればいいわけですいいですか三角形のACPというのは ACPというのはこの三角形とこの三角形の輪であるってことですねはいそうしますと三角形のcepっていうのはPEってのはここが底辺になりますからその底辺はここをt とおきますとここ4なのでT-4となりますからこれですねT-4これ底辺ですで高さはここが8ですね-8ですからXで 881/2が三角形Cです三角形AEPも同様に底辺はT-4で高さはここですねこれが高さなんです2です下1/2= 150になればいいわけですこっから計算ですえ4tt-4+T-4=150になります8と1/2が4ですよね2/と1/2

1になっちゃいますからこうですよねで括外しますと4t-16+T-4=150 計算しますと5T=170で両辺5で割ってTは34となりますからよって点Pの座標は034です034となりますね以上そんなに難しくないです計算力ですよろしいですか大門4が終わりましたで大門5に行きます今時間的に57分ですけど申し訳ございませんが今日ちょっと超過します全部最後までやっちゃやり切っちゃいますはい大門語の問題です図は一辺の長さが2 の立法体ABCD efghである頂点から頂点Fはどこでしょうここですか頂点 F から対角線のAGAGって対角線に引いた水線をFiとしてえ辺のBCの中点bcはここですねこうですねBCの中点は Mとして次の四角をごめなさいAgの長さはもうこれ超簡単と公式ずりです [音楽] ねはい5番の1番の公式ずりAG=え平方コのそれぞれの辺の長さの事情の和の平方根ですねえ全部2ですから2の2乗と2の2 乗と2の2乗全部3つを足してその平方根ですですから2の2乗は4なんで4く34 は2の2乗で2√3とすぐ出ますこれは超簡単です1番は2 [音楽] 番 2番目の問題は三角形 afiの面積はいくらかと afiここがaですねここがFですねここがIですねというわけでこのafgという平面を考えてFから推薦を引けばいいんですねそしてAFはもうすぐ出ますこれは 1対1対√2ですから2√2ですぐ出ますそしてAGはさっき出しときましたそしてえあとFGっていうのがこれも2ですよねここが2でここが2√2でAGは先ほど出したえ2√3です3つの辺が分かりますとこの三角形のねAGを底辺と見た時のF の長さが出るんですそのパターンの問題ですはいいいですか三角形afgを書きましたはいえAFの長さは1対1対√2なので2√2はすぐ出ますよで2は元々2ですよねそれからAG は先ほど1番で出しましたねそうしますと 3つの三角形の3つの辺が分かればここを底辺と見た時の高さを出すことはねえ皆さんご存知だと思います教科書でもやります有問題でよく出ますこのこっからF からIへの推薦をHと置きますでここの長

さをxと置きますとここの長さはえ2√3 -Xですでこちらの三角形とこちらの三角形でそれぞれ3平法の定理を作りますはいまずこちらの三角形で3平法の定理をやりますとHの2乗とxの2乗を足したものが4ですあ式はx2+H2=4になってますね同様にこっちの三角形でも3法の定理をやりますとそうですねえここを先書いてますね2√3-Xの2 +えこのHの2=えAFの2乗AFっていうのは2√2ですがえ√の中に入れると √8になってその2乗は8ですよねというこの2つの式ができますでえこのX2+ 122=4をここのあこのこの式を展開しますまずね展開しますと12-4√3x+ x2+H2=8ってのは出てこのX2+H 2のとこにこの4を代入しちゃいますそうしますと-4√3x=-8が得られXは両辺を-4√3で割って4√符合はプラでしょでえ約分すると√となってXがこれですねそれでHを出したいのでH はこの式に入れますねXが√2の2乗で 43です+H2乗=4からH2乗はずっと計算していって8ですねH2乗がそうますとHっていうのはえ√2√2という風になってちょっともう少し上げますかとなってそしてですね有利かですね分母分子√3かけますと2√6ですこれ高さですねはいそうしますと三角形のafiの面積が出ます三角形のafiafi高さが出ましたあとここの長さが底辺ですが2√ 3からX先ほどこちらで出したこのXを引いたものですそれを底辺としますはい計算します2√3-√2/3っていうのがあれですよAIの長さですよここAIですねで高さは先ほど出した23√6ですここでここですねこれ高さです下1/2を計算しますえ2√3-これ有り返して23√ 3かこちらは1/2か3√6この括弧の中は3でやりますと334√3となります3 √6ですから4/9√18で 39が出てきて12√2ですでえここで9 と12を3で約分して4√2これがafi 三角形afiの面積ですこれが面積っていうことですねはい次へいきますかこ3番目は三角錐のMAafiの体積えMっていうのをねえ点としてafi を低面とする三角錐の体積を求めなさいという問題ですもうafiの底面の面積は括弧2で出してありますから高さを求めればいいわけです高さというのはMという点から面のafiにま面のafiは面のAFG上に

ありますから面のafgへの推薦を考えますがさらにもっといいですか面のAFというのは面のAFGD上にありますですから面のAFGD上へMから水線を下ろしてその長さを求めるってことをすればいいわけですはいでは図を見てくださいちょっとあんまり分かりではありませんがえMっていうのはねこの辺の中点ですそしてこちら側にですねこのの中点をmダシュを取ったとしましょうでMとMダシュを結んであげると先ほど申しましたこのこの目ですねこれちょっと記号書きますとAFGDです [音楽] ねはいちょっとFがまずいですねAFGDというねま対角線と対角線からでるこうえ長方形ですねの上にですね先ほどのafi っていうのがあるのでえー結局MからMダッシュを結んでえ交わったこの面と交わったとこが高さになるんですけど結局mmダシを出してしまえばその半分です高さはねで実はこの MMダシは何かってと実際ここの対角線この正方形の対角線と同じなんですですから対角性の長さは先ほど使いましたけど 2√2ですつまりmmダシは2√2なんですその半分が高さになるんですで先ほど出した面積ですねこちら43√2が底面で高さが2√2の半分の√2あと1/3ですね衰退ですからをかけて8/9となりますこれが求める図形の体積 [音楽] ですですから今出したのはですねこのafiを底面としてMからの高さですねを高さとする水た三角水の体積を求めましたやり方はまこんなに非常に簡単にかこ3 にも関わらずあっという間にできてしまいますがまこのこの辺の中点mとあとこちら側の辺の中点をM出しとしてこれとこれを結んでこのafgDと交わった点のところがこれがこの長さが高さであるとこれが分かるかどうかってことでしょうねこれ気づかないとちょっと問題が解けないということですですからmmダッシュの半分が高さしかもこのmmダッシュって何かっていうと実はこっからここのこの政府保険のこっからここの角線の長さでもあるわけですねですから2√2なんですそういう意味で非常にでしたはいでは画面を切り替えますはいというわけでえ2023年の土浦日代の問題数学を解いてみましたけども

意外とそうですよね皆さん問題週を満面なくやってると必ずどこかで出会うような問題だったかなとで全体的に見てどこが難しかったかなと言いますとおそらくは3番の問題ですか [音楽] ねあのAからBBからCへ行くね佐藤君と田村君のね出会う問題あれが意外とやりづらかったかなと思われますはいというわけでえ時間をもう8分化しましたのでええ解説は今日はこれで終わりにしますがどうでしょうかチャンネル見ていただいてですね役にたったってことであればチャンネル登録を是非お願いしますそしてグッドボタンをいただけると非常に励みになりますそれでは皆さんまた明日お会いしましょうはいご清聴ありがとうございました

2023年度土浦日大高校入試数学問題解説②

オンライン黒田塾 のライブ配信第34回